Масъалаи № 42. а) Исбот карда шавад, ки \(x_n\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир хурд аст (яъне ҳудуди ба 0 баробар дорад), тавассути ба ҳаргуна \(\varepsilon > 0\) мувофиқ гузоштани адади \(N = N(\varepsilon)\), ки \(|x_n| < \varepsilon\) ҳангоми \(n > N\), агар

а) \(x_n = \frac{(-1)^{n + 1}}{n}\)

бошад.

Ҷадвали зерин пур карда шавад:

Ҳалли а).

\(|x_n| = \left|\frac{(-1)^{n + 1}}{n}\right| = \frac{1}{n}\)

Яъне, адади \(N = N(\varepsilon)\)-ро чунин интихоб кардан зарур аст, ки барои \(n > N\) нобаробарии зерин иҷро шавад

\((1)\quad\frac{1}{n} < \varepsilon\).

Агар барои ягон адади натуралии \(N\)

\(\frac{1}{N} < \varepsilon\)

бошад, онгоҳ

\(\frac{1}{\varepsilon} < N\)

Пас, агар \(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\) бошад, онгоҳ барои дилхоҳ адади натуралии \(n > N\) нобаробарии (1) иҷро мешавад.

Бигзор \(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil\), пас

\(|x_n| = |\frac{1}{n}| < \varepsilon\),

ҳангоми \(n > N\).

Ин маънои онро дорад, ки пайдарпаии \(x_n = \frac{(-1)^{n + 1}}{n}\) \((n = 1, 2, ...)\) беохир аст (яъне ҳудуди баробар ба 0 дорад).

1) Агар \(\varepsilon = 0,1\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,1}\right\rceil = 10 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 10\)

\(|x_n| < 0,1\).

2) Агар \(\varepsilon = 0,001\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,001}\right\rceil = 1000 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 1000\)

\(|x_n| < 0,001\).

3) Агар \(\varepsilon = 0,0001\) бошад, онгоҳ

\(N = \left\lceil\frac{1}{\varepsilon}\right\rceil = \left\lceil\frac{1}{0,0001}\right\rceil = 10000 \)

Барои дилхоҳ адади \(n > 10000\)

\(|x_n| < 0,0001\).

Ҷадвалро пур мекунем